Eine Gruppe, die auch bei Gruppenoperationen eine differenzierbare Mannigfaltigkeit darstellt.
In der Mathematik ist eine Lie-Gruppe (ausgesprochen "Lee") eine Gruppe, die ebenfalls differenzierbar ist. mit der Eigenschaft, dass die Gruppenoperationen reibungslos sind. Lie-Gruppen sind nach dem norwegischen Mathematiker Sophus Lie benannt, der die Grundlagen der Theorie der kontinuierlichen Transformationsgruppen legte.
Grob ausgedrückt ist eine Lie-Gruppe eine fortlaufende Gruppe, dh eine Gruppe, deren Elemente durch mehrere reelle Parameter beschrieben werden. Lie-Gruppen bieten daher ein natürliches Modell für das Konzept der kontinuierlichen Symmetrie, beispielsweise der Rotationssymmetrie in drei Dimensionen. Lie-Gruppen werden in vielen Bereichen der modernen Mathematik und Physik weit verbreitet. Lies ursprüngliche Motivation für die Einführung von Lie-Gruppen bestand darin, die kontinuierlichen Symmetrien von Differentialgleichungen zu modellieren, ähnlich wie endliche Gruppen in der Galois-Theorie zur Modellierung der diskreten Symmetrien algebraischer Gleichungen verwendet werden.
Überblick [ edit ]
Lie-Gruppen sind glatt differenzierbare Mannigfaltigkeiten und können im Gegensatz zu allgemeineren topologischen Gruppen mit Differentialrechnung untersucht werden. Eine der Schlüsselideen in der Theorie der Lie-Gruppen besteht darin, das globale Objekt die Gruppe, durch ihre lokale -Lokalisierung oder linearisierte Version zu ersetzen, die Lie selbst als "infinitesimale Gruppe" bezeichnet das seitdem als seine Lie-Algebra bekannt geworden ist.
Lügengruppen spielen in der modernen Geometrie auf verschiedenen Ebenen eine enorme Rolle. Felix Klein argumentierte in seinem Erlanger Programm, dass man verschiedene "Geometrien" berücksichtigen kann, indem eine geeignete Transformationsgruppe angegeben wird, die bestimmte geometrische Eigenschaften unverändert lässt. Die euklidische Geometrie entspricht also der Wahl der Gruppe E (3) der abstandserhaltenden Transformationen des euklidischen Raums R 3 die konforme Geometrie entspricht der Vergrößerung der Gruppe zur konformen Gruppe, wohingegen sie in projektiven Gruppen liegt Geometrie man interessiert sich für die Eigenschaften, die in der projektiven Gruppe invariant sind. Diese Idee führte später zur Vorstellung einer G-Struktur, wobei G eine Lie-Gruppe "lokaler" Symmetrien einer Mannigfaltigkeit ist.
Lie-Gruppen (und ihre zugehörigen Lie-Algebren) spielen eine wichtige Rolle in der modernen Physik, wobei die Lie-Gruppe typischerweise die Rolle einer Symmetrie eines physikalischen Systems spielt. Hier sind die Darstellungen der Lie-Gruppe (oder ihrer Lie-Algebra) besonders wichtig. Die Darstellungstheorie wird in der Teilchenphysik intensiv eingesetzt. Gruppen, deren Repräsentation von besonderer Bedeutung ist, umfassen die Rotationsgruppe SO (3) (oder ihre doppelte Abdeckung SU (2)), die spezielle Einheitsgruppe SU (3) und die Poincaré-Gruppe.
Auf einer "globalen" Ebene liefert diese Aktion immer dann, wenn eine Lie-Gruppe auf ein geometrisches Objekt wie einen Riemannschen oder eine symplektische Mannigfaltigkeit wirkt, ein Maß an Starrheit und ergibt eine reichhaltige algebraische Struktur. Das Vorhandensein kontinuierlicher Symmetrien, die durch eine Lie-Gruppenaktion auf einem Verteiler ausgedrückt werden, setzt seiner Geometrie starke Beschränkungen auf und erleichtert die Analyse des Verteilers. Lineare Wirkungen von Lie-Gruppen sind besonders wichtig und werden in der Darstellungstheorie untersucht.
In den 1940er und 1950er Jahren erkannten Ellis Kolchin, Armand Borel und Claude Chevalley, dass viele grundlegende Ergebnisse bezüglich Lie-Gruppen vollständig algebraisch entwickelt werden können, wodurch die Theorie algebraischer Gruppen entsteht, die über ein beliebiges Feld definiert werden. Diese Erkenntnis eröffnete neue Möglichkeiten in der reinen Algebra, indem die meisten endlichen einfachen Gruppen sowie die algebraische Geometrie einheitlich aufgebaut wurden. Die Theorie der automorphen Formen, ein wichtiger Zweig der modernen Zahlentheorie, beschäftigt sich ausführlich mit Analoga von Lie-Gruppen über Adelringen; p -adic Lie-Gruppen spielen über ihre Verbindungen zu Galois-Repräsentationen in der Zahlentheorie eine wichtige Rolle.
Definitionen und Beispiele [ edit ]
Eine echte Lie-Gruppe ist eine Gruppe, die auch eine endlichdimensionale reelle glatte Mannigfaltigkeit ist, in der die Gruppe operiert von Multiplikation und Inversion sind glatte Karten. Glätte der Gruppenvervielfachung
bedeutet, dass µ eine glatte Abbildung des -Produktverteilers ist ] G × G bis G . Diese beiden Anforderungen können mit der einzigen Anforderung kombiniert werden, die das Mapping darstellt
eine glatte Abbildung des Produktverteilers in G .
Erste Beispiele [ edit ]
- Dies ist eine vierdimensionale nichtkompakte, echte Lie-Gruppe; es ist eine offene Teilmenge von . Diese Gruppe ist nicht verbunden. es hat zwei verbundene Komponenten, die den positiven und negativen Werten der Determinante entsprechen.
- Die Rotationsmatrizen bilden eine Untergruppe von GL (2, R ) bezeichnet mit . SO (2, R ) . Es ist eine Lie-Gruppe für sich: speziell eine eindimensionale, zusammenhängende Lie-Gruppe, die zum Kreis diffeomorph ist. Unter Verwendung des Drehwinkels als Parameter kann diese Gruppe wie folgt parametrisiert werden:
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